Clara Haskil est issue d'une famille roumaine juive et se révèle être une enfant surdouée. À l'âge de trois ans elle reproduit déjà, avec un doigt, des mélodies qu'elle a entendues. La mère de Clara, Berthe Haskil, pianiste et musicienne amateur, lui donne ses premiers cours de piano et Clara révèle des dons stupéfiants d'oreille et de doigté. Sa mère lui a donné son prénom en souvenir de sa propre sœur aînée qu'elle admirait passionnément et qui mourut à vingt ans alors qu'elle effectuait des études brillantes de piano au Conservatoire de Bucarest. Clara travaille aussi le violon et se montre également douée pour cet instrument. Elle a deux sœurs, Lili, son aînée, qui joue du piano, et Jane la cadette qui apprend le violon.